Somos nobres … e servos, por Jorge Buescu na “Inenium de abril/maio 2004

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Somos nobres … e servos, por Jorge Buescu na “Inenium de abril/maio 2004

#339411 | chartri | 12 dic 2013 16:11

Eu descendo de D. Afonso Henriques. O leitor também. E também de qualquer servo da gleba do sec. XII. Todos os europeus descendem de Carlos Magno e de Maomé. E todos os seres humanos vivos descendem de Confucio ou Nefertiti. E também de qualquer escravo do antigo Egipto. São as surpresas da matemática da genealogia

Muito prazer, caro leitor. Embora não nos conheçamos pessoalmente, somos primos - na pior das hipóteses em 34° grau. E ambos temos uma linhagem altamente aristocrática: descendemos em linha directa da casa real da Fundação da nacionalidade. Sim: D. Afonso Henriques é nosso 34° avô por via directa.

Mas a nossa distinção genealógica não se esgota aqui, muito pelo contrário: somos também descendentes de todas as casas reais europeias anteriores ao século XII, e descendemos directamente de Carlos Magno de próprio ou do profeta Maomé. E ainda de Nefertiti ou Confúdo.

Orgulhoso da sua ilustre e aristocrática ascendência? Já sente o seu sangue mais azul, agora que tem a certeza da sua ascendência altamente aristocrática? Então considere as seguintes afirmações, também elas verdadeiras. Não há rigorosamente nada de especial consigo ou comigo. E uma inevitabilidade matemática: todos os Portugueses vivos em 2004 descendem directamente de D. Afonso Henriques. Isto é verdade para mim, para o leitor ou para um perigoso marginal preso por tráfico de droga.

Muito pior: não só não há nada de especial em relação a nós enquanto descendentes como não há nada de especial com D. Afonso Henriques enquanto ascendente. Isto é: qualquer português hoje vivo, em particular um leitor deste artigo, é descendente não apenas de D. Afonso Henriques como de qualquer outro português vivo no século XII cuja linha de descendência não se tenha extinguido. Portanto, caro leitor, também há más notícias: além da nossa linhagem real, somos também descendentes de todos os miseráveis servos da gleba do século XH. Continua orgulhoso?

Pior ainda: o mesmo argumento mostra que qualquer europeu hoje vivo é descendente directo de Carlos Magno, Carlos Mardel, Clóvis ou mesmo Maomé. Como, na verdade, também de qualquer outro europeu vivo à data destes, cuja linha de descendênda não se tenha entretanto extinguido. Este mesmo argumento à escala mundial mostra que todos os seres humanos hoje vivos são descendentes de Confúdo ou Nefertiti.

Se isto lhe parece estranho, considere o seguinte pensamento arrepiante, quase inacreditável. Dentro de mil e quinhentos anos, das duas uma: ou a sua linha de descendência se extinguiu ou... todos os seres humanos nessa altura vivos serão seus descendentes! O leitor terá então literalmente dezenas de milhares de mi-lhões de netos (já imaginou o que seria o Natal em família?).

A explicação de todos estes factos bizarros, à primeira vista quase inacreditáveis, está em recentes resultados matemáticos relativos à Matemática das genealogias. No entanto, a razão matemática de fundo é muito simples e básica, sendo perfeitamente compreensível por qualquer aluno do Secundário: o crescimento exponencial do número de ascendentes.
Comecemos por uma observação indiscutível: todos nós temos um pai e uma mãe - isto é, dois ascendentes de primeira geração. Significa isto portanto que temos quatro avós, oito bisavós, etc Em geral, cada um de nós possui 2 ascendentes de geração n.
Tomemos ao acaso um cidadão português qualquer, designando-o, digamos, por FM. Façamos então o modelo mais básico possível para a ascendência de FM. Suponhamos, para simplificar, que uma geração demora em media 25 anos.
Assim, FM terá 210= 1024 ascendentes de 10a geração (bi-tetra-tetra-avós), que viveram há 250 anos. Na 20a geração, que corresponde ao descobrimento do Brasil, terá mais de um milhão de ascendentes (220=1.048.576).

E terá de mil milhões de milhões de ascendentes de 30a geração. Isto passa-se há 750 anos, ou seja. O tempo de D. Afonso Henriques, digamos 1143, corresponde à 34a geração, e a árvore genealógica de FM tem nesta altura 234 ascendentes — mais de 17 mil milhões de pessoas - ou seja, quase o triplo da população da Terra, e superior ao número total de seres humanos que já passaram pela Terra desde o aparecimento do Homo Sapiens]

A conclusão é uma inevitabilidade matemática: a árvore genealógica de FM não é uma árvore - é um novelo. Os caminhos de FM até aos seus ascendentes de 34a geração têm de se auto intersectar, porque muitas das 17 mil milhões de pessoas vão coincidir. Portugal teria qualquer coisa como 1 a 2 milhões de habitantes no tempo de D. Afonso Henriques, pelo que neste caso as auto intersecções "enrolam" as árvores genealógicas com coalescências de um fator de 1000 na 34a geração.

Qual é a probabilidade de um ascendente masculino na 34a geração de FM ser D. Afonso Henriques? Fazendo a pergunta para um ascendente concreto, digamos o pai do pai do pai... (34 vezes por linha paterna), essa probabilidade é evidentemente baixa. Suponhamos que este 34° avô pode ser, com igual probabilidade, qualquer um dos cerca de um milhão de homens vivos em 1143. Então a probabilidade deste senhor ser D. Afonso Henriques é uma num milhão. Dito de outra forma, a probabilidade de este 34° avô de FM não ser Afonso Henriques é 0,999999. .

A questão é que FM não tem apenas UM 34° avô homem: tem exatamente 233. Para FM não descender de D. Afonso Henriques é necessário (mas nem sequer suficiente; ver abaixo) que nenhum destes 233 avôs seja Afonso Henriques. Considerando independência de acontecimentos, e como 233=8.589.934.592 essa probabilidade é
P= (Q 999999) 8589.934.592
ou seja, cerca de 103731.
Não é impossível FM não ser descendente direto de Afonso Henriques. No entanto, isso tem probabilidade absurdamente ridícula: ocorrerá uma vez em 103731, que é um 1 seguido de 3731 zeros. Como é fácil perder a noção da ordem de grandeza destes números, pode ser útil a seguinte comparação. Esta probabilidade é menor do que a probabilidade de ganhar 522 vezes seguidas no Totoloto. Ou seja, é mais provável jogar uma aposta e ganhar o Io prémio no Totoloto todas as semanas durante 10 anos do que Afonso Henriques estar fora da linha de ascendência de FM!

Poderia objetar-se que este modelo simples não leva em conta diversos fenómenos, de que são exemplo mais óbvio os migratórios. É verdade: obviamente Portugal não esteve de fronteiras fechadas durante 850 anos. Por exemplo, o meu pai era romeno, pelo que metade da minha árvore genealógica em princípio nada terá que ver com D. Afonso Henriques. Parece um corte radical: metade da árvore genealógica é para esquecer.
No entanto, devido ao crescimento exponencial dos antecessores o efeito desta anomalia é apenas atrasar o fenómeno uma geração, ou seja 25 anos (como no célebre problema dos nenúfares que cobrem um lago em 30 dias e se pergunta em que dia o lago está meio coberto). No meu caso pessoal, posso afirmar que é mais provável ganhar o Totoloto "apenas" todas as semanas durante cinco anos do que não descender diretamente de D. Afonso Henriques. Portanto, eu e FM somos primos, na pior das hipóteses, em 34° grau, através do nosso querido avô comum Afonso Henriques.

O mesmo argumento mostra que passar do Portugal de D. Afonso Henriques para o Mundo inteiro é feito com meia dúzia de gerações. Assim, cálculos em tudo análogos mostram que a probabilidade de um qualquer europeu não descender por via direta de Carlos Magno é da ordem de 1015mo. E mais fácil ganhar o Totoloto todas as semanas durante 320 anos. Portanto, todos os europeus vivos descendem da maior casa real europeia, a dos Francos de Carlos Magno.

E quanto mais para traz melhor: Maomé, Clóvis... a única exigência é partir de alguém que comprovadamente tenha deixado descendência viva, isto é, cuja linha de descendência não se tenha extinguido. A escolha de Carlos Magno, ou Maomé, ou Clóvis, é irrelevante — a não ser neste aspeto. Isto significa que todos os europeus atualmente vivos são descendentes de todos os europeus vivos no século IX cuja linha de descendência não se tenha quebrado. Quer dizer: os Portugueses são tão descendentes de Afonso Henriques como de qualquer servo da gleba seu contemporâneo. Analogamente, passar para o Mundo inteiro empurra o cálculo uma gerações mais para traz. Assim, todas as pessoas no Mundo são descendentes de Confucio ou NefertitL E note-se e que estamos apenas a considerar ascendência direta de pais para filhos, não alargada a tios ou por afinidade!

O pequenino modelo de brincar apresentado é evidentemente muito grosseiro para ser levado cientificamente a sério. Contudo, foram recentemente publicados modelos matemáticos probabilísticos desenvolvidos pelo matemático Joseph Chang, da Universidade de Yale, que trabalham as questões mais delicadas com as ferramentas probabilísticas dos processes de Markov. O que estes modelos têm de especial é considerarem a ascendência "genealógica" a partir de dois progenitores, e não apenas por via de um progenitor, como nos modelos clássicos (Wright-Fisher).

Pode parecer estranho ao leitor que os modelos clássicos só levem em conta um progenitor, não os dois. De facto, eles são sobretudo utilizados em Genética; e, devido à enorme complexidade das questões da hereditariedade sexuada (por exemplo, o DNA de um avô pode estar totalmente ausente no neto), eles são utilizados em condições em que não existe recombinação: por exemplo, a transmissão do cromossoma Y por via paterna, ou a transmissão do DNA mitocondrial por via materna. Assim, nos modelos clássicos há apenas um progenitor que "doa" todo o material genético. E assim que se atinge, por exemplo, a "Mãe Universal" conhecida por "Eva mitocondrial" (originadora do DNA mitocondrial que todos transportamos).

E claro que em qualquer tipo de modelo fazem sentido perguntas como "dada uma população com n indivíduos, quantas gerações é preciso andar para traz para se encontrar um antecessor comum?". Um tal individuo é conhecido como um antecessor comum (AC) da população. Por exemplo, D. Afonso Henriques é um AC da população de Portugal, e Carlos Magno um AC da população europeia. Uma pergunta ligeiramente diferente é a de encontrar o mais recente antecessor comum (MRAC) da população. Por exemplo, D. Afonso Henriques é um antecessor comum da população portuguesa; mas com grande probabilidade haverá um AC mais recente. O mais recente de todos é o MRAC.
Em modelos do tipo clássico, uniparentais, cada elemento da população tem um antecessor na geração n. Este facto origina, como talvez o leitor já suspeite, uma enorme diferença em relação às respostas fornecidas as perguntas acima. Em modelos clássicos, uniparentais, pode mostrar-se que uma população de dimensão n, em media, tem um MRAC ("Eva mitocondrial") na geração 2n. Por exemplo, a "Eva mitocondrial" da população portuguesa (se tal fizesse sentido, o que claramente é falso) teria ocorrido há 20 milhões de gerações.

Já para um modelo genealógico, biparental, a situação é radicalmente diferente.
Joseph Chang mostra dois resultados fundamentais: Numa população de dimensão n "suficientemente grande",
(1) o numero de gerações necessárias para atingir um MR-AC é log2 n;
(2) os elementos da população na geração (contada da frente para traz) G(n) = 1,77 log2 n ou são Antecessores Comuns de toda a população, ou a sua linha se extingue.

E interessante aplicar a segunda parte deste Teorema de Chang à população portuguesa. Com n=10.000.000, atual população de Portugal, obtemos G(n) = 41,15. Para jogarmos pelo seguro, tomemos G (n) =42 gerações, correspondentes a 1050 anos. Isto significa que, para qualquer habitante do "Portugal" de 950 d.C. se tem a seguinte dicotomia: ou a sua linha de descendência se extinguiu, ou então é um Antecessor Comum de toda a atual população portuguesa.

Ainda mais intrigante é virar o argumento ao contrário. De acordo com as projeções da Nações Unidas, a população mundial estabilizará nos 12 mil milhões a partir do ano 2200. A geração crítica G (n) correspondente ao Teorema de Chang é 59,2; digamos 60 por segurança. Ou seja: dentro de 60 gerações, ou cerca de 1500 anos, eu e o leitor pertencemos à geração G(n) . A partir dai, ou a nossa linha de descendência se extinguiu, ou cada um de nós é um Antecessores Comum de toda a população mundial. Todos os seres humanos serão nossos 60°s netos!

É como se cada um de nós estivesse neste momento no vértice de uma gigantesca ampulheta genealógica. Poderá perguntar-se: se todos comprovadamente descendemos de qualquer pessoa suficientemente distante que tenha deixado descendência, qual é o interesse da genealogia? De facto, as raízes de todos nos estão na mesma árvore. Mas cada caminho para o nosso passado comum é único; a reconstrução desse caminho — uma penosa ascensão pela nossa árvore de ascendentes, conjugada com a exploração dos descendentes do "alvo" que se pretende atingir — é já por si uma recompensa.

O matemático português que nos chamou a atenção para os trabalhos de Chang, por exemplo, conhece por este processo a (ou talvez uma) sua descendência direta do profeta Maomé e de Clóvis, rei dos Francos.

(Jorge Buescu na “Inenium, abril/maio 2004)

Somos nobres … e servos, por Jorge Buescu na “Inenium de abril/maio 2004